爪型三角形最值问题
先认识图形：什么叫"爪型三角形"
在 \(\triangle ABC\) 中，点 \(D\) 在边 \(BC\) 上，连接 \(AD\) —— \(AD\) 就像一只"爪"从 \(D\) 伸向顶点 \(A\)，这样的图形叫作爪型三角形（爪形结构）。
\(\triangle ABD\)、\(\triangle ADC\) 共边 \(AD\)，合成 \(\triangle ABC\)；
\(B\)、\(D\)、\(C\) 三点共线。
\(\angle ADB+\angle ADC=180^{\circ}\)
\(\Longrightarrow\;\cos\angle ADB=-\cos\angle ADC\)
余弦互为相反数
求 \(AB^{2}\)、\(AC^{2}\)：余弦定理 / 坐标法 / 勾股定理（作高）
求比值最值：基本不等式 / 设 \(k\) 法（判别式）
在 \(\triangle ABC\) 中，点 \(D\) 在边 \(BC\) 上，\(\angle ADB=120^{\circ}\)，\(AD=2\)，\(CD=2BD\)。当 \(\dfrac{AC}{AB}\) 取得最小值时，求 \(BD=?\)
关键隐含条件：\(\angle ADB+\angle ADC=180^{\circ}\)，所以 \(\angle ADC=60^{\circ}\)——两个邻补角的余弦值互为相反数！
两次余弦定理，把 \(AB^{2}\) 和 \(AC^{2}\) 算出来
思考方向：\(AB\) 在哪条三角形里？\(AC\) 又在哪条三角形里？
—— \(\triangle ABD\) 和 \(\triangle ADC\)，分别用余弦定理！
\(AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}-2\cdot BD\cdot AD\cdot\cos 120^{\circ}\)
\(=m^{2}+2^{2}-2\cdot m\cdot 2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)\)
\(=m^{2}+4+2m\)
\(AC^{2}=CD^{2}+AD^{2}-2\cdot CD\cdot AD\cdot\cos 60^{\circ}\)
\(=(2m)^{2}+2^{2}-2\cdot 2m\cdot 2\cdot\dfrac{1}{2}\)
\(=4m^{2}+4-4m\)
坐标法也能做？——殊途同归
以 \(D\) 为原点，\(BC\) 所在直线为 \(x\) 轴建坐标系：
\(D(0,0)\)，\(B(-m,0)\)，\(C(2m,0)\)
\(A(1,\sqrt{3})\)（由 \(AD=2\)，\(\angle ADB=120^{\circ}\)）
\(AB^{2}=(1+m)^{2}+3=m^{2}+2m+4\)
\(AC^{2}=(1-2m)^{2}+3=4m^{2}-4m+4\)
结论：坐标法得到的 \(AB^{2}\) 和 \(AC^{2}\) 与余弦定理法完全一致！
建系法不用纠结角度符号，暴力代数，适合容易搞混角度的同学。
作高用勾股定理，一样能算 \(AB^{2}\) 和 \(AC^{2}\)
过 \(A\) 作 \(AE\perp BC\) 于 \(E\)，把爪型拆成两个直角三角形：
\(DE=AD\cos 60^{\circ}=1\)，\(AE=AD\sin 60^{\circ}=\sqrt{3}\)
\(BE=BD+DE=m+1\)
\(AB^{2}=BE^{2}+AE^{2}=(m+1)^{2}+3\)
\(=m^{2}+2m+4\)
\(CE=CD-DE=2m-1\)
\(AC^{2}=CE^{2}+AE^{2}=(2m-1)^{2}+3\)
\(=4m^{2}-4m+4\)
三种方法算出的 \(AB^{2}\)、\(AC^{2}\) 完全一致
分式怎么凑出基本不等式？
直接求两条线段长度的比值？太麻烦了。我们换个思路——第一步：取平方
因为 \(AB>0,\ AC>0\)，所以 \(\dfrac{AC}{AB}\) 最小 等价于 \(\dfrac{AC^{2}}{AB^{2}}\) 最小。
分析：要让比值最小，就要让 \(\frac{12}{(m+1)+\frac{3}{m+1}}\) 最大，也就是让分母 \((m+1)+\frac{3}{m+1}\) 最小。
由基本不等式（\(m+1>0\)）：\((m+1)+\dfrac{3}{m+1}\ge 2\sqrt{3}\)
等号成立：\(m+1=\dfrac{3}{m+1}\;\Longrightarrow\;(m+1)^{2}=3\;\Longrightarrow\;m=\sqrt{3}-1\)
设 \(k\) 法：用判别式反解出最值
由前面算得的 \(AB^{2}=m^{2}+2m+4\)、\(AC^{2}=4m^{2}-4m+4\)，先写出比值：
\(\dfrac{AC^{2}}{AB^{2}}=\dfrac{4m^{2}-4m+4}{m^{2}+2m+4}\)，设 \(k=\dfrac{AC}{AB}\)（\(k>0\)），记 \(t=k^{2}\)。
去分母、整理成关于 \(m\) 的方程：\((t-4)m^{2}+(2t+4)m+(4t-4)=0\)。
\(m>0\) 使方程有实根 \(\Longrightarrow\;\Delta\ge 0\)。
\(\Delta=(2t+4)^{2}-4(t-4)(4t-4)=-12\left(t^{2}-8t+4\right)\ge 0\)
解得 \(4-2\sqrt{3}\le t\le 4+2\sqrt{3}\)，故 \(t_{\min}=4-2\sqrt{3}=(\sqrt{3}-1)^{2}\)。
方法总结
课后练习
在 \(\triangle ABC\) 中，点 \(D\) 在边 \(BC\) 上，
\(\angle ADB=60^{\circ}\)，\(AD=1\)，\(CD=3BD\)。
当 \(\dfrac{AC}{AB}\) 取得最小值时，求 \(BD=?\)